KaTeX 数学公式测试

KaTeX 是一个跨浏览器的 JavaScript 库，可在网页浏览器中渲染数学公式。其设计以快速和易用为核心，最初由可汗学院开发，后成为 GitHub 上最热门的五大项目之一。

群论

Burnside 引理，有时也称为 Burnside 计数定理、Cauchy-Frobenius 引理或轨道计数定理。

设 $\land$ 是有限群 $G$ 在有限集合 $X$ 上的群作用。那么作用的轨道数 $t$ 由下面的公式给出。

t = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ Fix (g) ∣

对于每个整数 $n \geq 2$ ，商群 $Z / n Z$ 是由 $1 + n Z$ 生成的循环群，因此 $Z / n Z ≅ Z_{n}$ 。

商群 $R / Z$ 同构于 $([0, 1), +_{1})$ ，即区间 $[0, 1)$ 上以 1 为模的实数加法群。

同构定理。设 $ϕ : (G, \circ) \to (H, *)$ 是一个同态。那么函数

f : G / Ker (ϕ) x Ker (ϕ) \to Im (ϕ) \mapsto ϕ (x)

是一个同构，因此

G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)

设函数 $f$ 在包含点 $a$ 和 $x$ 的开区间上 $(n + 1)$ 次可微。那么

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \dots + \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n} + R_{n} (x)

其中

R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1},

对于 $a$ 和 $x$ 之间的某个 $c$ 。

$K A T E X$ 没有右对齐选项，因此使用额外的对齐列来显示方程编号。它们通过 mkern 间距（默认为 \mkern100mu）被推到右侧。align 和 align* 环境都可以使用，\tag 和 \notag 也可以使用。

\frac{π}{4 n ^{2}} = \frac{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}}{2 n ^{2} ( 2 n )!} n (2 n - 1) J_{n - 1} - \frac{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}}{2 n ^{2} ( 2 n )!} 2 n^{2} J_{n} = \frac{4 ^{n}}{4 ( 2 n )!} (\frac{n !}{n})^{2} 2 n (2 n - 1) J_{n - 1} - \frac{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}}{( 2 n )!} J_{n} = \frac{4 ^{n - 1} (( n - 1 )! ) ^{2}}{( 2 n - 2 )!} J_{n - 1} - \frac{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}}{( 2 n )!} J_{n} (1) (‡) (2)

\frac{4 ^{N} ( N ! ) ^{2}}{( 2 N )!} J_{N} \frac{x}{sin x} 所以 x \leq \frac{4 ^{N} ( N ! ) ^{2}}{( 2 N )!} \frac{π ^{2}}{4} \frac{1}{2 n + 2} I_{2 N} = \frac{π ^{2}}{8 ( N + 1 )} \frac{4 ^{N} ( N ! ) ^{2}}{( 2 N )!} I_{2 N} = \frac{π ^{2}}{8 ( N + 1 )} \frac{π}{2} = \frac{π ^{3}}{16 ( N + 1 )} \leq \frac{π}{2} \leq \frac{π}{2} sin x (*) (**) (3) (4)

i = 1 \sum k + 1 i = (i = 1 \sum k i) + (k + 1) = \frac{k ( k + 1 )}{2} + k + 1 = \frac{k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 )}{2} = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2} = \frac{( k + 1 ) (( k + 1 ) + 1 )}{2} (1) (2) (3) (4) (5)

1 + \frac{q ^{2}}{( 1 - q )} + \frac{q ^{6}}{( 1 - q ) ( 1 - q ^{2} )} + \dots = j = 0 \prod \infty \frac{1}{( 1 - q ^{5 j + 2} ) ( 1 - q ^{5 j + 3} )}, 对于 ∣ q ∣ < 1.

V_{1} \times V_{2} = i \frac{\partial X}{\partial u} \frac{\partial X}{\partial v} j \frac{\partial Y}{\partial u} \frac{\partial Y}{\partial v} k 00

\nabla \times B - \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t} \nabla \cdot E \nabla \times E + \frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t} \nabla \cdot B = \frac{4 π}{c} j = 4 π ρ = 0 = 0

Γ Δ Θ Λ Ξ Π Σ Υ Φ Ψ Ω α β γ δ ϵ ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω ε ϑ ϖ ϱ ς φ

\leftarrow \to \leftarrow \to ↑ ⇑ ↓ ⇓ ↕ ⇕ \Leftarrow \Rightarrow \leftrightarrow \Leftrightarrow \mapsto ↩ ↼ ↽ ⇌ ⟵ ⟸ ⟶ ⟹ ⟷ ⟺ ⟼ ↪ ⇀ ⇁ ⇝ ↗ ↘ ↙ ↖

\sqrt ⊼ ⊻ ⊙ \oplus \otimes ⊘ ⊚ ⊡ △ ▽ † ⋄ ⋆ ◃ ▹ ∠ \infty' △